摘要:如图11.4-1所示，构件1上有曲线C1和K,1;构件 2上有曲线C2和K2。当C1和C2作纯滚动时,K1和K2 始终相切，并且作连滚带滑的运动。C1、C2为一对瞬心 线，而K1、K2 ,凡则为一对共轭曲线。共扼曲线有互为包 络线的特性。如让构件2固定不动，此时K2和C2都固 定不动。
如图11.4-1所示，构件1上有曲线C1和K,1;构件
2上有曲线C2和K2。当C1和C2作纯滚动时,K1和K2
始终相切，并且作连滚带滑的运动。C1、C2为一对瞬心
线，而K1、K2 ,凡则为一对共轭曲线。共扼曲线有互为包
络线的特性。如让构件2固定不动，此时K2和C2都固
定不动。让C1对C2作纯滚动，则K1在K2上依次占据
K1、K1'、K''...等位置而形成一个曲线族。由图可见，曲
线K2包络了曲线K1的各个位置。称k2为包络线而K1,
为被包络线。反过来，如果构件1固定不动，当C2对
C1作纯滚动时，曲线K1将成为包络线而k2变为被包络
线。因此一对共轭曲线也是互为包络线的曲线。从图中
也可看到，过一对共轭曲线K1、K2的接触点M, M'、
M''…作其公法线必定通过C1、C2两瞬心线的接触切
点P, p', p"…等瞬心。通过共轭曲线来传递运动的
机构称为共扼曲线机构。共扼曲线机构一般可分为定
速比传动和变速比传动两种类型。
定速比传动的共扼曲线机构设计
1坐标转换
设有1, 2两齿轮，分别绕O1、O2旋转，其中心距
为a，节圆半径为r1和r2，节点为P，见图11.4-2。
齿条r的节线在两节圆的公切线位置。图中设置了4
个坐标系，其中x1O1y1、x2o2y2、xroryr分别与轮1、
轮2及齿条r固联，从初始位置起已各自转动了φ1、
φ2角或移动了r1φ1=r2φ2距离。xPy为一固定坐标
系。今有一个公共点M，其在各个坐标系中的坐标
(x1、Y1)、(x2,Y2 )、(xr，Yr)及(x，y)是各不相
同的，其间的关系见表11.4-1。
上面讨论的1、2两轮是外啮合情况，如果改成
内啮合，将O2移到O1下面，表11.4-1仍然适用。
2应用包络法求共辘曲线
根据一对共轭曲线具有互为包络线的性质，所以当
给定其中一条曲线K1，可用包络法求得另一曲线K2。
方法是先求得K1运动过程中在坐标系2上的一系列位
置，得到一个曲线族，然后作该曲线族的包络线即为
K2。求曲线族方程可以用坐标转换法来完成，即根据表
11.4-1中坐标系1和坐标系2间的坐标转换式将曲线K1
式中的x1、Y1代以x2、Y2和φ1即为K1在坐标系2上的
曲线族方程(式中的φ2=φ1r1/r2)。然后应用微分几何
求其包络线，即得K2曲线。表11.4-2给出了根据不同
形式的K1方程，用包络法求K2的计算公式。
例1 用包络法求与矩形花键共辘的插齿刀齿廓
方程。
解 花键齿形与有关的坐标系见图11.4-3。图中
各坐标系都处于起始位置，花键齿廓方程为
3应用齿廓法线法求共辘曲线
根据齿娜啮合基本定律，一对共扼齿廓在接触点
的公法线必定通过节点P，见图11.44。当给定凡
求K2时，可在K1上任选一点，找出该点进入啮合位
置时的φ1角，再用坐标转换法即可求得啮合线和K2
曲线上的对应点。不断改变K1上的点.求得的即是
啮合线和K2曲线。具体的计算步骤如表11.4-3所
示。表中同时给出了当K1曲线具有不同的表达式时，
γ角的对应计算式。表中还给出了齿轮与齿条呛合
时，已知K1曲线求Kγ曲线的计算式。
例2 用齿脚法线法求与矩形花键共轭的插齿刀
齿廓方程
4应用卡姆士定理求一对共轭曲线
应用卡姆士定理，当C1、C2和Cr三条节线互相
滚动时，如给出齿条齿廓曲线Kr(见图11. 4-5 )，则
由K1求得的两条共轭曲线K1和K2一定也互相共轭。
具体求解步骤见表11.4-4。这是用齿条形刀具加工一
对共扼齿廓的通用方法。但是应该注意的是当展成
K1和K2时，KR必须采用不同的实体，也即需要曲线
形状相同但为镶嵌式的Kr(1)和Kr(2)t两把刀具才行。
5过渡曲线
用展成法加工齿轮时，刀具齿顶在被加工齿轮1
的轮齿根部形成一条过渡曲线，将齿廓共轭曲线段和
齿根圆弧段连接起来，见图11.4-6和表11.4-5。
6共辘曲线的曲率半径及其关系
已知不同形式的齿廓曲线方程，由表11.4-6可求
得曲线上各点的曲率半径。一般情况下，齿廓曲线K1
方程比较简单，故ρ1容易求。有时甚至于可不用公式
计算，直接从齿形上获得。而齿廓曲线K2的方程往往
比较复杂，用表11.4-6求ρ2就更复杂。表11.4-7给
出了不通过k2方程，直接由ρ1求ρ2的方法。
例3 齿轮与齿条在节点P啮合，已知齿轮轮齿
的曲率半径ρ1,求齿条轮齿的曲率半径ρr。
解 将表11.4-7中的齿轮2改成齿条r，则从啮
合点到节点的距离r=0, rr→∞,故表11.4-7中的欧
拉一萨伐里公式可改写成
7啮合角、压力角、滑动系数和重合度
一对共轭齿廓在传递运动过程，具有啮合角、压
力角、滑动系数及重合度等一些质量指标。这些质量
指标的定义、作用和计算公式见表11.4-8。
8啮合界限点和干涉界限点
啮合界限点和干涉界限点的概念及计算公式见表
11.4-9。。
例4 求矩形花键与其共轭齿廓的啮合界限点和
干涉界限点。
解 在本章1.2节例题和本章1.3节例题中根据
给定的K1曲线(x1=-+b,y1=u),已求得y=π/2、
φ1=arccosu/r1，从表11.4-9中啮合界限点的计算式
X1cosy+y1sin=r1得y1=r1，故得啮合界限点x1=
-+b、 y1=r1及对应的φ1=0如图11.4-8中的H点。
显然，在初始位置过H点作齿廓的法线刚好和节圆
C1相切于节点P。根据干涉界限点的条件式
(责任编辑：laugh521521)
2上有曲线C2和K2。当C1和C2作纯滚动时,K1和K2
始终相切，并且作连滚带滑的运动。C1、C2为一对瞬心
线，而K1、K2 ,凡则为一对共轭曲线。共扼曲线有互为包
络线的特性。如让构件2固定不动，此时K2和C2都固
定不动。让C1对C2作纯滚动，则K1在K2上依次占据
K1、K1'、K''...等位置而形成一个曲线族。由图可见，曲
线K2包络了曲线K1的各个位置。称k2为包络线而K1,
为被包络线。反过来，如果构件1固定不动，当C2对
C1作纯滚动时，曲线K1将成为包络线而k2变为被包络
线。因此一对共轭曲线也是互为包络线的曲线。从图中
也可看到，过一对共轭曲线K1、K2的接触点M, M'、
M''…作其公法线必定通过C1、C2两瞬心线的接触切
点P, p', p"…等瞬心。通过共轭曲线来传递运动的
机构称为共扼曲线机构。共扼曲线机构一般可分为定
速比传动和变速比传动两种类型。
定速比传动的共扼曲线机构设计
1坐标转换
设有1, 2两齿轮，分别绕O1、O2旋转，其中心距
为a，节圆半径为r1和r2，节点为P，见图11.4-2。
齿条r的节线在两节圆的公切线位置。图中设置了4
个坐标系，其中x1O1y1、x2o2y2、xroryr分别与轮1、
轮2及齿条r固联，从初始位置起已各自转动了φ1、
φ2角或移动了r1φ1=r2φ2距离。xPy为一固定坐标
系。今有一个公共点M，其在各个坐标系中的坐标
(x1、Y1)、(x2,Y2 )、(xr，Yr)及(x，y)是各不相
同的，其间的关系见表11.4-1。
上面讨论的1、2两轮是外啮合情况，如果改成
内啮合，将O2移到O1下面，表11.4-1仍然适用。
2应用包络法求共辘曲线
根据一对共轭曲线具有互为包络线的性质，所以当
给定其中一条曲线K1，可用包络法求得另一曲线K2。
方法是先求得K1运动过程中在坐标系2上的一系列位
置，得到一个曲线族，然后作该曲线族的包络线即为
K2。求曲线族方程可以用坐标转换法来完成，即根据表
11.4-1中坐标系1和坐标系2间的坐标转换式将曲线K1
式中的x1、Y1代以x2、Y2和φ1即为K1在坐标系2上的
曲线族方程(式中的φ2=φ1r1/r2)。然后应用微分几何
求其包络线，即得K2曲线。表11.4-2给出了根据不同
形式的K1方程，用包络法求K2的计算公式。
例1 用包络法求与矩形花键共辘的插齿刀齿廓
方程。
解 花键齿形与有关的坐标系见图11.4-3。图中
各坐标系都处于起始位置，花键齿廓方程为
3应用齿廓法线法求共辘曲线
根据齿娜啮合基本定律，一对共扼齿廓在接触点
的公法线必定通过节点P，见图11.44。当给定凡
求K2时，可在K1上任选一点，找出该点进入啮合位
置时的φ1角，再用坐标转换法即可求得啮合线和K2
曲线上的对应点。不断改变K1上的点.求得的即是
啮合线和K2曲线。具体的计算步骤如表11.4-3所
示。表中同时给出了当K1曲线具有不同的表达式时，
γ角的对应计算式。表中还给出了齿轮与齿条呛合
时，已知K1曲线求Kγ曲线的计算式。
例2 用齿脚法线法求与矩形花键共轭的插齿刀
齿廓方程
4应用卡姆士定理求一对共轭曲线
应用卡姆士定理，当C1、C2和Cr三条节线互相
滚动时，如给出齿条齿廓曲线Kr(见图11. 4-5 )，则
由K1求得的两条共轭曲线K1和K2一定也互相共轭。
具体求解步骤见表11.4-4。这是用齿条形刀具加工一
对共扼齿廓的通用方法。但是应该注意的是当展成
K1和K2时，KR必须采用不同的实体，也即需要曲线
形状相同但为镶嵌式的Kr(1)和Kr(2)t两把刀具才行。
5过渡曲线
用展成法加工齿轮时，刀具齿顶在被加工齿轮1
的轮齿根部形成一条过渡曲线，将齿廓共轭曲线段和
齿根圆弧段连接起来，见图11.4-6和表11.4-5。
6共辘曲线的曲率半径及其关系
已知不同形式的齿廓曲线方程，由表11.4-6可求
得曲线上各点的曲率半径。一般情况下，齿廓曲线K1
方程比较简单，故ρ1容易求。有时甚至于可不用公式
计算，直接从齿形上获得。而齿廓曲线K2的方程往往
比较复杂，用表11.4-6求ρ2就更复杂。表11.4-7给
出了不通过k2方程，直接由ρ1求ρ2的方法。
例3 齿轮与齿条在节点P啮合，已知齿轮轮齿
的曲率半径ρ1,求齿条轮齿的曲率半径ρr。
解 将表11.4-7中的齿轮2改成齿条r，则从啮
合点到节点的距离r=0, rr→∞,故表11.4-7中的欧
拉一萨伐里公式可改写成
7啮合角、压力角、滑动系数和重合度
一对共轭齿廓在传递运动过程，具有啮合角、压
力角、滑动系数及重合度等一些质量指标。这些质量
指标的定义、作用和计算公式见表11.4-8。
8啮合界限点和干涉界限点
啮合界限点和干涉界限点的概念及计算公式见表
11.4-9。。
例4 求矩形花键与其共轭齿廓的啮合界限点和
干涉界限点。
解 在本章1.2节例题和本章1.3节例题中根据
给定的K1曲线(x1=-+b,y1=u),已求得y=π/2、
φ1=arccosu/r1，从表11.4-9中啮合界限点的计算式
X1cosy+y1sin=r1得y1=r1，故得啮合界限点x1=
-+b、 y1=r1及对应的φ1=0如图11.4-8中的H点。
显然，在初始位置过H点作齿廓的法线刚好和节圆
C1相切于节点P。根据干涉界限点的条件式
(责任编辑：laugh521521)
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